具体的な職場環境が不明ですので、一般的な観点からの回答となります。
　就業規則で副業が禁止されていたのであれば、副業をしたことは懲戒事由に該当します。もっとも、副業を行っていたとしても、会社に影響がなく、労務提供にも支障がないのであれば、懲戒処分に課すことができないか、課されるとしても、軽微な懲戒処分に留まるかと考えられます。ご相談者の場合、休職中だったとのことですので、懲戒処分を課すのは重すぎるように思われます。
　同様に、損害賠償についても、会社がどのような損害が発生したと主張しているのかが不明ですが、通常は休職中に副業をしたからといって、会社が損害を被るとは考えられません。ですので、何らかの法的措置を会社がとるとは、あまり想定できません。
　以上は、あくまで一般的な回答ですので、ご不安があるようでしたら、お近くの法律事務所で弁護士に直接ご相談されることをお勧めします。

正社員（雇用期間の定めのない労働契約）でしょうか？

そうであれば、民法で退職の２週間前に申し出ればいいことになっているので、３か月前に申し出ることとの就業規則は無効です。

また、損害賠償も基本的には必要ないでしょうし、認められても少額でしょう。

有期雇用であれば話は別です。有期雇用の場合は、雇用期間途中で退職する場合は、原則として損害賠償義務は発生します。

いずれにせよ、園側も入職時の相談で配慮してくれていたという状況のもとでは、どうしても働けないということであれば、礼を尽くして協議するしかないと思います。どうしてもこじれるなら、弁護士などに相談してみてください。

借金の返済義務が残ることになりますが、
借金があるからといって退職できないことはありません。
労働者側からの退職は、退職時期等で民法上の規制を受けますが、
原則として自由です。

　懲戒処分の意思表示は、退職前に行われる必要があり、退職の効力が生じた後に 懲戒処分をすることはできません(エスエイビー・ジャパン事件・東京地判平14.9.3労判839号32頁)。
　（公務員は話が別ですが）民間であれば（期間の定めのない労働契約の場合）退職の意思表示をしてから２週間の経過を持って自動的に退職になります。
　したがって、処分が下らなくとも退職はできます。

有期雇用の（期間の定めがある）場合は、やむを得ない事由があるときに限り、
契約の解除（自己都合退職）ができます。
一方、無期雇用の場合や有期雇用が自動更新されている場合は、いつでも退職できます。
（退職申入れの日から２週間後に雇用契約が終了するのが原則です。）

ご相談者の場合、有期雇用と考えられますので、
退職するためにはやむを得ない事由が必要となると考えられます。