健康保険等の保険料は、被保険者である従業員と会社が各２分の１負担し、
会社が従業員負担分も含めた合計額を納付しています。
ですので、休職された場合で会社が保険料の従業者負担分を立替えているような場合は、
従業員は会社に対して、保険料の従業員負担分を支払う義務を負います。

もし会社に対して支払いを拒絶すれば、会社から訴訟等を起こされるリスクを負います。
もっとも、それほど大きな金額ではないでしょうから、普通は会社もそこまではしません。
まずは会社と話し合い、自身の窮状を理解してもらった上で、妥当な解決方法を探るのがよいかと考えます。

大変な状況ですね。
解雇が有効になる場合は限られており、ご記載いただいた内容を前提にすると、解雇は無効である可能性が高いです。
解雇が無効である場合、使用者に対して金銭の請求等をすることが可能です。
まずは使用者に対して解雇通知書、解雇理由証明書の交付を求め、弁護士にご相談されることをおすすめします。

具体的な職場環境が不明ですので、あくまで一般的な回答となります。

会社からの損害賠償請求については、仮に労働者が損害賠償義務を負う場合であっても、
労働者が使用者の指揮命令に従って業務に従事しており、
また、使用者が労働者の労働によって利益を得ていることを踏まえ、
損害の衡平な分担という見地から、信義則上相当と認められる限度でしか
損害賠償義務を負わないという考えが一般的です。
ですので、使用者から労働者への損害賠償請求は認められないか、
認められたとしても少額にとどまることが多いです。

まず、資格試験について、業務との関連性が強い資格試験の場合は会社が負担すべきです。
逆に業務との関連性が薄く、労働者の個人的利益のための資格試験の費用は、
労働者の負担となる場合が多いと考えられます。

次に、名刺は会社の利益のために使用されるものですから、
一般的には会社の負担となります。

判例の中には、有期契約であっても、無期契約の試用期間と捉えて労働者を救済しているものがあります。
相談者さんの事案でも、リクナビでは正社員募集で募集要項には試用期間3か月と書いてあったこと、育園に提出する就労証明は無期雇用と正社員と記載されていたことからすると、無期契約の試用期間と解釈される可能性があります。そうなれば、落ち度がなかったり、解雇しないと経営が立ち行かないというような業績不振がなければ解雇は認められません。

また、事実関係によっては、リクナビの内容（つまり、無期雇用に試用期間3か月という内容）で契約が成立していると考えられる事案かもしれません。

一度弁護士に相談されることをお勧めします。

解雇は客観的に合理的な理由がなければ無効となりますので、会社側は解雇にはせず、退職願を書かせて合意退職とすることを画策してくることが予想されます。退職を強いられることに納得が行かないのであれば、退職の意思を示す書面に署名してはいけません。

解雇を通告された場合には、解雇通知書と解雇理由証明書の交付を求めてください。前者は後になって「解雇していない。合意退職だ」という弁解をさせないため、後者は解雇理由を後から捏造されないために有用です。これらの書面の交付については法律上、使用者に義務があります（労働基準法22条1項、2項）。

それまでにできることとしては、もしも事業所に就業規則があれば入手しておくことが望ましいでしょう。また、後日、勤務成績の不良を解雇理由とされた場合に備え、日々の業務について業務日誌のようなものを付けておくと、役に立つことがあるかも知れません。

１月末に話した通り当社に見合わないから解雇と言われた際の対応ですが、これは、明らかに不当解雇に該当しますから①「解雇通知書」（解雇の意思表示を裏付けるもの）と②「解雇理由通知書」（会社側の解雇理由を裏付けるもの）を会社に出してもらってください。その上で、労働審判等で争えば、解雇無効の判断を出してもらえると思います。今後、会社で継続して勤務をすることを考えている場合には、解雇をされる前に、解雇をすれば無効の判断をされる可能性があることを会社側に認識しておいてもらう必要があるので、弁護士に相談をした旨を会社側に伝える（におわす）などして、会社側の不当解雇をけん制する必要があると思います。

準備するべきものとしては、①と②をきちんと出して来ない可能性もあるので、解雇の話をされそうな場合には、携帯電話でもよいので録音をとっておくことが必要です。解雇の理由についても、争われた後で理由をこじ付けの理由を追加してくる可能性があるので、きちんと会社側の解雇理由がわかるものを客観的に残しておく必要があると思われます。メール、ＬＩＮＥのやりとり、音声などが証拠としては良いと思います。